Projektivna geometrija

Projektivna geometrija je posplošena geometrija, ki poleg običajnih točk kot povsem enakovredne obravnava še točke v neskončnosti.

Prve zamisli na tem področju je razvil Gérard Desargues, njegovo delo pa je pozneje nadaljeval zlasti Jean-Victor Poncelet.

Osnove projektivne geometrije

Glavna zamisel projektivne geometrije je načelo, ki so ga slikarji že zdavnaj spoznali pri upodabljanju perspektive: dve vzporedni premici se sekata v neskončnosti.

Po tem načelu dobimo projektivno geometrijo iz afine geometrije tako, da vsakemu snopu vzporednih premic priredimo točko v neskončnosti - ta točka je potem edino presečišče tega snopa vzporednic. Dodajanje točk v neskončnosti se izkaže za koristno zaradi lažjega opisovnja geometrijskih značilnosti: če moramo pri afini (in tudi pri evklidski) geometriji posebej opisati, kaj velja za vzporedni premici, in posebej, kaj velja za premici, ki se sekata, lahko v projektivni gometriji oboje združimo v isti opis.

Premico, ki smo ji dodali (eno) točko v neskončnosti, imenujemo projektivna premica.

Ravnino, ki smo ji dodali za celo premico točk v neskončnosti (v vsaki smeri po eno točko), imenujemo projektivna ravnina.

(Trirazsežni) prostor, ki smo mu dodali za celo ravnino točk v neskončnosti, imenujemo (trirazsežni) projektivni prostor.

Postopek lahko seveda posplošimo tudi na n-razsežni prostor.

Homogene koordinate

Točke v n-razsežnem projektivnem prostoru opisujemo s homogenimi koordinatami, ki imajo dve značilnosti:

Koordinat je n+1 (tj. ena več kot je razsežnost prostora).
Če vse koordinate pomnožimo z istim neničelnim številom, dobljene koordinate predstavljajo isto točko kot prvotne.

To si najlažje predstavljamo v projektivni ravnini:

Poljubni končni točki, ki ima kartezični koordinati (x,y), priredimo homogene koordinate (x,y,1) oziroma (ax,ay,a) za poljuben neničeln a.
Neskončni točki, v kateri se stikajo vse vzporednice s smernim koeficientom k, priredimo homogene koordinate (1,k,0).
Neskončni točki, v kateri se stikajo vse vzporednice z ordinatno osjo, priiredimo homogene koordinate (0,1,0).

Poljubno točko projektivne ravnine si lahko zdaj predstavljamo kot trojico koordinat oziroma tudi kot trirazsežni vektor, ki je določen le do množenja z neničelnim številom a natančno.

Projektivne preslikave

Temelj projektivne geometrije predstavljajo projektivne preslikave ali projektivnosti (tudi: kolineacije). To so bijektivne preslikave, ki ohranjajo kolinearnost v projektivnem smislu (torej: vključno z neskončnimi točkami). Pojmi, ki jih projektivne preslikave ohranjajo, so invariante projektivne geometrije. Pomembna invarianta je dvorazmerje točk A, B, C in D.

Če točke n-razsežžnega projektivnega prostora s pomočjo homogenih koordinat zapišemo z vektorji razsežnosti n+1, lahko projektivno transformacijo zapišemo kot obrnljivo matriko razsežnosti (n+1)×(n+1).

Merjenje v projektivni geometriji

Projektivna geometrija sama po sebi ne govori o merjenju razdalj in kotov. Možno pa je vpeljati različne funkcije, ki v projektivni geometriji igrajo vlogo metrike.

Eden od najuspešnejših pristopov na tem področju je projektivna metrika definirana na podlagi dvorazmerja. Ta funkcija ni metrika v smislu aksiomov metrike, vendar pa ima nekatere značilnosti razdalje. Pri primerni izbiri določenih parametrov, lahko s pomočjo te metrike vpeljemo v projektivno geometrijo različne geometije, ki jih imenujemo Cayley-Kleinove geometrije.

Cayley-Kleinove geometrije se delijo na devet osnovnih tipov. Najbolj znane tri med njimi so: evklidska geometrija, hiperbolična geometrija in eliptična geometrija.

Načelo dualnosti

Leta 1825 je Joseph Diaz Gergonne opazil, da v ravninski projektivni geometriji velja načelo dualnosti: vsaka značilnost, ki velja za premice, velja tudi za točke in obratno. Na splošno lahko v vsakem izreku ravninske projektivne geometrije zamenjamo besedi »točke« in »premice« med sabo, pa bo izrek še vedno veljal.

Zgled:

Dve točki enolično določata premico (tj. tisto, ki poteka skozi obe točki).
Dve premici enolično določata točko (tj. presečišče).

Glej tudi

Viri

Vidav, Ivan. Afina in projektivna geometrija. DMFA, Ljubljana 1981. (COBISS)